PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Если в правильной четырехугольной пирамиде высота равна 4, а площадь диагонального сечения равна 12, то ее объем равен ...
Укажите номера прямоугольников, изображенных на рисунках 1−5, при вращении которых вокруг стороны AD получается цилиндр, осевым сечением которого является квадрат.
На рисунке изображена правильная четырехугольная пирамида. Среди отрезков SB, MQ, SM, SO, MN укажите отрезок, который является апофемой правильной четырехугольной пирамиды.
Найдите длину ребра правильной пятиугольной пирамиды, у которой боковое ребро равно ребру основания, а сумма длин всех ребер равна 30.
Пусть O и O1 — центры оснований цилиндра, изображенного на рисунке. Тогда образующей цилиндра является отрезок:
Выберите три верных утверждения, если известно, что прямая а перпендикулярна плоскости
и пересекает ее в точке О.
1) Любая прямая, перпендикулярная плоскости 
параллельна прямой а.
2) Любая прямая, перпендикулярная прямой а, лежит в плоскости 
3) Прямая а перпендикулярна любой прямой плоскости
4) Через прямую а проходит единственная плоскость, перпендикулярная плоскости
5) Существует множество плоскостей, перпендикулярных прямой а.
6) Существует единственная прямая, параллельная прямой а и перпендикулярная плоскости
Ответ запишите в виде последовательности цифр в порядке возрастания. Например: 123.
Если плоскость касается сферы, диаметр которой равен 24, то расстояние от центра сферы до точки касания равно:
Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Точки K и M лежат на ребрах A1B1 и DD1 соответственно, точка N лежит на прямой CC1 (см. рис.). Выберите верные утверждения:
1) прямая MN пересекает прямую C1D1;
2) прямая KN лежит в плоскости B1C1C;
3) прямая KM лежит в плоскости KB1M;
4) прямая KM пересекает прямую B1C1;
5) прямая KM параллельна плоскости CBB1;
6) прямая MN параллельна плоскости AA1B1.
Ответ запишите цифрами (порядок записи цифр не имеет значения). Например, 124.
Дана прямая треугольная призма ABCA1B1C1. Точки M и N являются серединами ребер A1B1 и BB1 соответственно, точка K — середина диагонали A1C грани AA1C1C (см. рис.). Выберите верные утверждения:
1) прямая NK лежит в плоскости AA1B1;
2) прямая MN пересекает прямую AB;
3) прямая MN пересекает прямую BC;
4) прямая MK пересекает прямую AB;
5) прямая MK пересекает плоскость ACC1;
6) прямая NK параллельна плоскости A1C1B1.
Ответ запишите цифрами (порядок записи цифр не имеет значения). Например: 123.
Выберите три верных утверждения, если известно, что две перпендикулярные плоскости
и 
пересекаются по прямой a и точка A принадлежит плоскости (см. рис.).
1. Любая прямая, проходящая через точку A и пересекающая плоскость пересекает прямую a.
2. Существует единственная прямая, проходящая через точку A и перпендикулярная плоскости
3. Прямая, проходящая через точку A и перпендикулярная плоскости 
перпендикулярна плоскости
4. Любая точка прямой a лежит в плоскостях и 
5. Любая прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная прямой a, перпендикулярна плоскости
6. Любая прямая, перпендикулярная прямой a, принадлежит плоскости
Ответ запишите цифрами (порядок записи цифр не имеет значения). Например: 123.
Дана треугольная пирамида SABC. Точки К и N являются серединами ребер SA и АС соответственно, точка М лежит на прямой SB (см. рис.). Выберите три верных утверждения.
1. Прямая KN параллельна плоскости BSC.
2. Прямая NM пересекает плоскость BSC.
3. Прямая КМ пересекает прямую ВС.
4. Прямая КМ лежит в плоскости ASВ.
5. Прямая NM пересекает прямую ВС.
6. Прямая KN пересекает плоскость BSC.
Ответ запишите цифрами (порядок записи цифр не имеет значения). Например: 135.
Выберите три верных утверждения, если известно, что точка А лежит в плоскости α, которая параллельна плоскости β (см. рис.).
1. Прямая, проходящая через точку А и пересекающая плоскость α, пересекает плоскость β.
2. Через точку А проходит единственная Плоскость, пересекающая плоскости α и β.
3. Существует единственная прямая, проходящая через точку А и параллельная плоскости β.
4. Любая прямая, лежащая в плоскости β, параллельна плоскости α.
5. Если плоскости α и β пересечены третьей плоскостью, то прямые их пересечения параллельны между собой.
6. Существует единственная прямая, проходящая через точку А и пересекающая плоскость β.
Ответ запишите цифрами (порядок записи цифр не имеет значения). Например: 123.
Прямая a пересекает плоскость α в точке A и образует с плоскостью угол 60°. Точка B лежит на прямой a, причем AB = 
Найдите расстояние от точки B до плоскости α.
Прямая a, параллельная плоскости α, находится от нее на расстоянии 6. Через прямую a проведена плоскость β, пересекающая плоскость α по прямой b и образующая с ней угол 60°. Найдите площадь четырехугольника ABCD, если A и B — такие точки прямой a, что AB = 4, а C и D — такие точки прямой b, что CD = 3.
Даны две параллельные плоскости α и β, расстояние между которыми равно 
Прямая а пересекает плоскости α и β в точках А и В соответственно и образует с ними угол 30°. Найдите длину отрезка АВ.
ABCDA1B1C1D1 — куб. Точки M и N — середины ребер AD и DC соответственно, 
(см. рис.). Сечением куба плоскостью, проходящей через точки M, N и K, является:
Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является треугольник АВС, в котором 
а радиус описанной около него окружности равен 
Найдите длину диагонали грани AA1C1C, если площадь этой грани равна 
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 
Найдите объем V цилиндра, если известно, что радиус его основания больше высоты на 3,5. В ответ запишите значение выражения 
Из полного бокала, имеющего форму конуса высотой 9, отлили треть (по объему) жидкости. Вычислите 
где h — высота оставшейся жидкости.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 
и его объем равен 
Найдите высоту цилиндра.
Высота цилиндра в 3 раза больше радиуса его основания. Найдите объем цилиндра, если радиус основания равен 
Бокал имеет форму конуса. В него налита вода на высоту, равную 4. Если в бокал долить воды объемом, равным одной четвертой объема налитой воды, то вода окажется на высоте, равной:
Прямая a пересекает плоскость α в точке A и образует с этой плоскостью угол 30°. Точка B лежит на прямой a, причем 
Найдите длину проекции отрезка AB на плоскость α.
ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед, у которого AB = 4, AD = 3, 
Найдите длину пространственной ломаной B1A1C1D (см. рис.).
ABCA1B1C1 — правильная треугольная призма, все ребра которой равны
Точки P и K — середины ребер A1B1 и AA1 соответственно, 
Найдите длину отрезка, по которому плоскость, проходящая через M, P, K, пересекает грань BB1C1C.
SABCD — правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны 37. Точка М — середина ребра SA. Точка N ∈ SD, DN : NS = 1 : 3. Найдите длину отрезка, по которому плоскость, проходящая через точки N, М, В, пересекает основание ABCD пирамиды.
На рисунках 1 и 2 изображены правильная треугольная призма ABCA1B1C1 и ее развертка. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если длина ломаной ACA1 равна 
и точки A, C, A1 лежат на одной прямой (см. рис. 2).
SABCD — правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны 48. Точка M — середина ребра SD. Точка 
СN : NS = 1 : 3 (см. рис.). Найдите длину отрезка, по которому плоскость, проходящая через точки M и N параллельно ребру SA, пересекает основание ABCD пирамиды.
Найдите объем прямой призмы ABCDA1B1C1D1, в основании которой лежит параллелограмм ABCD, если длины ребер AB и AA1 равны 4 и 1 соответственно, а расстояние точки A1 до прямой CD равно 5.
В правильной треугольной пирамиде проведено сечение плоскостью, проходящей через боковое ребро и апофему противолежащей этому ребру боковой грани. Двугранный угол при ребре основания пирамиды равен 45°, а радиус окружности, описанной около сечения, равен 
Найдите объем пирамиды.
Каждое боковое ребро четырехугольной пирамиды образует с ее высотой, равной 
угол 30°. Основанием пирамиды является прямоугольник с углом 30° между диагоналями. Найдите объем пирамиды V, в ответ запишите значение выражения 
В основании прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 лежит трапеция ABCD, у которой ∠C = 90°, BC и AD — основания, BC = CC1. Плоскость, которая проходит через ребро DC и вершину A1 призмы, образует угол
с плоскостью основания (см. рис.) и отсекает часть NC1CA1D1D. Если объем призмы равен 48, то объем оставшейся части равен … .
Радиус основания цилиндра равен 16. Плоскость, параллельная оси цилиндра, пересекает цилиндр по прямоугольнику с площадью, равной 120. Найдите значение выражения 
где V — объем цилиндра, если расстояние от плоскости сечения до оси цилиндра равно 
В треугольной пирамиде SABC боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания ABC. Через середины ребер AB и SB проведена секущая плоскость, параллельная ребру BC. Найдите значение выражения 3 · S, где S — площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если BC = 6, SA = 8.
В треугольной пирамиде SABC боковое ребро SB перпендикулярно плоскости основания ABC. Через середины ребер AB и SA проведена секущая плоскость, параллельная ребру AC. Найдите значение выражения 5 · S, где S — площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если AC = 32, SB = 2.
ABCA1B1C1 — правильная треугольная призма, у которой AB = 5, AA1 = 5. Точки Р и Q — середины ребер АВ и А1С1 соответственно. Найдите значение выражения 
где 
— угол между прямыми PQ и АВ1.
В параллелограмме длина одной из сторон вдвое больше длины другой, а острый угол равен 60°. Большая сторона параллелограмма лежит в плоскости α, а его большая диагональ образует с этой плоскостью угол, синус которого равен 
Найдите значение выражения 
где β — угол между плоскостью параллелограмма и плоскостью α.
Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в котором 
и AC = 4. Найдите значение выражения 
где φ — угол между прямыми AD1 и DC1.
ABCA1B1C1 — правильная треугольная призма, все ребра которой равны 3. Точки P и K — середины ребер BC и CC1 соответственно, M ∈ AA1, AM : AA1 = 1 : 3 (см. рис.). Найдите увеличенный в 25 раз квадрат длины отрезка, по которому плоскость, проходящая через точки M, K, P, пересекает грань AA1B1B.
В большой круг шара вписан треугольник, длина одной из сторон которого равна 6, а противолежащий этой стороне угол равен 120°. Найдите значение выражения 
где V — объем шара.
Прямоугольный треугольник с катетами, равными 6 и 
вращается вокруг оси, содержащей его гипотенузу. Найдите значение выражения 
где V — объём фигуры вращения.
Основанием пирамиды SABCD является ромб со стороной 
и углом BAD, равным 
Ребро SD перпендикулярно основанию, а ребро SB образует с основанием угол 
Найдите радиус R сферы, проходящей через точки A, B, C и середину ребра SB. В ответ запишите значение выражения R2.
Объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 1728. Точка P лежит на боковом ребре CC1 так, что CP : PC1 = 2 : 1. Через точку P, вершину D и середину бокового ребра AA1 проведена секущая плоскость, которая делит прямоугольный параллелепипед на две части. Найдите объём меньшей из частей.
ABCDA1B1C1D1 — прямая четырехугольная призма, объем которой равен 960. Основанием призмы является параллелограмм ABCD. Точки M и N принадлежат ребрам A1D1 и С1D1, так что A1M : A1D1 = 1 : 2, D1N : NC1 = 2 : 1. Отрезки A1N и B1M пересекаются в точке K. Найдите объем пирамиды SB1KNC1, если 
и B1S : SD = 3 : 1.
На стороне AB параллелограмма ABCD отмечена точка O так, что 
К плоскости ABCD из точки O восстановлен перпендикуляр SO длиной 8. Найдите значение выражения 
где — линейный угол двугранного угла BSCD, если 
и известно, что площадь ABCD равна 45.
Прямоугольный треугольник, длина гипотенузы которого равна 10, высота, проведенная к ней, равна 3, вращается вокруг прямой, перпендикулярной гипотенузе и проходящей в плоскости треугольника через вершину большего острого угла. Найдите объем V тела вращения и в ответ запишите значение выражения 
Объем правильной треугольной пирамиды SABC равен 13. Через сторону основания ВС проведено сечение, делящее пополам двугранный угол SBCA и пересекающее боковое ребро SA в точке М. Объем пирамиды МАВС равен 6. Найдите значение выражения 
где — угол между плоскостью основания и плоскостью боковой грани пирамиды SABC.
Основанием пирамиды SABCD является выпуклый четырехугольник ABCD, диагонали АС и BD которого перпендикулярны и пересекаются в точке O, АО = 9, ОС = 16, ВО = OD = 12. Вершина S пирамиды SABCD удалена на расстояние 
от каждой из прямых AB, BC, СD и AD. Через середину высоты пирамиды SABCD параллельно ее основанию проведена секущая плоскость, которая делит пирамиду на две части. Найдите значение выражения 10 · V, где V — объем большей из частей.
Равнобедренная трапеция с основаниями длиной 7 и 3 и острым углом 60° вращается вокруг прямой, содержащей ее боковую сторону. Найдите объем тела вращения V и в ответ запишите значение выражения 
Дан куб ABCDA1B1C1D1 с длиной ребра, равной 118. На ребрах ВС и ВВ1 взяты соответственно точки М и N так, что 
и 
Через точки M, N, A1 проведена плоскость. Найдите расстояние d от точки С до этой плоскости. В ответ запишите значение выражения d2.
ABCDA1B1C1D1 — куб. Точка K лежит на ребре AB куба так, что AK : KB = 2 : 1. Найдите значение выражения 
где φ — угол между прямыми A1K и B1D1.
Основанием четырехугольной пирамиды является ромб, у которого косинус угла равен 
и длина стороны равна 8. Все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом α, а высота пирамиды равна 18. Найдите значение выражения 
На рисунке изображена правильная четырехугольная пирамида SABCD, точка O — точка пересечения диагоналей основания ABCD. Среди прямых BC; BD; SO; SB; SD укажите прямую, по которой пересекаются плоскости DSO и SCB.
Дана прямая треугольная призма ABCA1B1C1. Точка M является серединой ребра AB,
(см. рис.). Выберите верные утверждения. В ответе укажите номера выбранных утверждений.
1) Расстояние от точки C1 до прямой AB равно длине отрезка BC1.
2) Расстояние от точки C1 до прямой AB равно длине отрезка C1M.
3) Расстояние от точки A до прямой ВС равно длине отрезка АВ.
4) Расстояние между прямыми ВВ1 и CC1 равно длине отрезка ВС1.
5) Расстояние между прямыми А1В1 и АВ равно длине отрезка AA1.
6) Расстояние от точки В до прямой АС равно длине отрезка ВС.
Плоскость, параллельная основанию треугольной пирамиды, делит ее высоту в отношении 5 : 3, если считать от вершины пирамиды. Найдите площадь сечения пирамиды данной плоскостью, если она меньше площади основания пирамиды на 39.
Дана правильная пятиугольная пирамида SABCDF, у которой длина стороны AF основания ABCDF
ABCDA1B1C1D1 — куб. Отрезок BD1 является диагональю куба. Выберите верные утверждения.
1) прямая BD1 лежит в плоскости DD1C1
2) прямая BD1 пересекает плоскость BB1A1
3) прямая BD1 лежит в плоскости B1BD
4) прямые BD1 и C1D1 являются скрещивающимися
5) прямая BD1 пересекает прямую AC1
6) прямая BD1 пересекает прямую A1B1
Ответ запишите цифрами (порядок записи цифр не имеет значения). Например: 134.
В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник ABC, у которого
Известно, что 
Найдите квадрат длины пространственной ломаной MBB1A1, где M — середина ребра AC (см. рис.).
Угол BSC правильной треугольной пирамиды SABC равен 
Найдите значение выражения 
где 
— угол
— линейный
ABCDA1B1C1D1 — прямой параллелепипед, объем которого равен 
Длины сторон AB и BC основания ABCD равны 
и 
соответственно, косинус угла ABC равен 
На ребрах AA1 и A1B1 взяты точки M и N соответственно, такие, что AM : MA1 = 4 : 1, A1N : NB1 = 1 : 4. Найдите значение выражения 
где φ — угол между прямыми MN и BC1.
Точки A, B, C лежат на поверхности шара так, что 
Найдите значение выражения 
где V — объем шара, если расстояние от центра шара до плоскости треугольника ABC 
следовательно, 
Следовательно,
— это и есть расстояние от точки B до плоскости α.
Проведем из точки D высоту трапеции DN. Получили прямоугольный треугольник, в котором 
по условию 
а 
Тогда
откуда 
то высота цилиндра равна 
Найдем объем цилиндра:
Выразим объем воды, налитой в бокал:
получаем, что 
Имеем:
По теореме Пифагора:
Найдем сторону 
следовательно, 
Поскольку 
получаем, что 
Тогда 
Из точки А проведем перпендикуляр AH к прямой CB и перпендикуляр AH1 к продолжению отрезка A1A Точка H делит сторону CB равностороннего треугольника ABC пополам, так как является высотой и медианой. Сторона треугольника ABC равна A1C1, треугольники ABC и A1B1C1 равны. Прямоугольные треугольники AA1H1 и ACH подобны по двум углам. Примем длину стороны треугольника ABC за x, x > 0, составим уравнение:
Примем за a сторону AA1 прямоугольника AA1C1C, a > 0. По теореме Пифагора в треугольнике AA1C:
Заметим, что CN — средняя линия треугольника MFP, следовательно, C — середина отрезка FP, тогда, поскольку FC = CP = 24, DP = 24 · 3 = 72.
отсюда 
В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC, его внутренние углы равны 60°. Угол AMB — прямой, угол ABM равен 30°, следовательно, 
Пусть AM = a, тогда по теореме Пифагора в треугольнике ABM:
Найдем площадь треугольника ABC:
Площадь прямоугольника можно найти как полупроизведение диагоналей d на синус угла между ними 
Из прямоугольного треугольника SOA найдем половину диагонали основания: 
Тогда объём пирамиды равен: 
Поэтому 
следовательно, по теореме о трех перпендикулярах 
поэтому 
откуда 
Пусть 
откуда 
что равно высоте h цилиндра. Найдем объем цилиндра:
равно 1280.
откуда 
Следовательно, 
Пусть h — расстояние от прямой BC до плоскости α. Тогда 
Тогда 
Тогда по теореме косинусов для треугольника AB1D1 получаем 
Треугольники KPC и LBP равны по стороне и двум углам, тогда 
Треугольники BQL и AMQ подобны по двум углам, тогда
По теореме Пифагора:
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 
Высота, проведенная из прямого угла, является радиусом конусов и равна: 
Поэтому: 
К тому же 
Таким образом, 
проведем KP||OM, K
Таким образом, MNKPD — искомое сечение.
тогда 
тогда 
Аналогично находим отношение 
следовательно, это искомый объём. Тогда его объём равен 724.
где основание — KNC1B1. Проведем высоту SE из точки S пирамиды SB1KNC1, как показано на втором рисунке.
поэтому 
для этого сделаем дополнительное построение, проведя прямую параллельную B1M до пересечения с продолжением стороны A1D1 (см. рис. 3). Получившийся треугольник D1NF подобен треугольнику A1B1M по двум углам. Поэтому:
и 
Соответственно, площадь треугольника A1NF равна 
где a и b стороны параллелограмма, а 
а параллелограмм ABCD является прямоугольником. По теореме Пифагора:
Площадь треугольника, с одной стороны, равна половине произведения катетов, а с другой — половина произведения высоты на сторону, к которой проведена высота. Имеем:
По теореме Пифагора найдем 
откуда 
Точка O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC, в нее проецируется высота SO. Пусть сторона основания пирамиды равна a, тогда высота 
Из свойства биссектрисы в треугольнике SLA: 
где p — полупериметр. Находим:
и 
следовательно, 
и 
от объема исходной пирамиды. Таким образом, 
и потому объем двух таких конусов равен 
Заметим, что прямые MN, B1C и A1D параллельны, поэтому искомое расстояние равно расстоянию от любой точки прямой B1C до плоскости MNA1D. 
тогда 
Найдем координаты вектора 
и 
Имеем:
Тангенс угла α равен отношению высоты пирамиды к радиусу окружности, вписанной в ромб. Имеем:
(так как SL — высота и медиана). Воспользуемся теоремой Пифагора:
Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине этой гипотенузы, значит, 
Найдем квадрат длины ломаной MBB1A1:
Пусть SM = 3x, значит: 
синус этого угла равен 
Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен
По теореме синусов в треугольнике ABC:
